Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά – mathēmatiká) secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka’. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.
Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam. Sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global, contoh-contoh tertulis dari pembangunan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM).
Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya. Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.
Matematika bukan numerologi. Walau numerologi memakai aritmetika modular untuk mengurangi nama dan data pada bilangan digit tunggal, numerologi secara berubah memberikan emosi atau ciri pada bilangan tanpa mengacaukan untuk membuktikan penetapan dalam gaya logika. Matematika ialah mengenai gagasan pembuktian atau penyangkalan dalam gaya logika, namun numerologi tidak. Interaksi antara secara berubah emosi penentuan bilangan secara intuitif diperkirakan daripada yang telah diperhitungkan secara seksama.
Matematika bukan akuntansi. Meskipun perhitungan aritmetika sangat krusial dalam pekerjaan akuntansi, utamanya keduanya mengenai pembuktian yang mana perhitungan benar melalui sistem pemeriksaan ulang. Pembuktian atau penyangkalan hipotesis amat penting bagi matematikawan, namun tak sebanyak akuntan. Kelanjutan dalam matematika abstrak menyimpang pada akuntansi jika penemuan tak dapat diterapkan pada pembuktian efisiensi tata buku konkret.
Matematika bukan sains, karena kebenaran dalam matematika tidak memerlukan pengamatan empiris
Matematika bukan fisika, karena fisika adalah sains.
Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.
- Kuantitas
Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.
- Bilangan – Bilangan dasar – Pi – Bilangan bulat – Bilangan rasional – Bilangan riil – Bilangan kompleks – Bilangan hiperkompleks – Quaternion – Oktonion – Sedenion – Bilangan hiperriil – Bilangan surreal – Bilangan urutan – Bilangan pokok – Bilangan P-adic – Rangkaian bilangan bulat – Konstanta matematika – Nama bilangan – Ketakterbatasan – Dasar – Sudut Jarum Jam
- Perubahan
Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.
- Aritmetika – Kalkulus – Kalkulus vektor – Analisis – Persamaan diferensial – Sistem dinamis dan teori chaos – Daftar fungsi
- Struktur
Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.
- Aljabar abstrak – Teori bilangan – Geometri aljabar – Teori grup – Monoid – Analisis – Topologi – Aljabar linear – Teori grafik – Aljabar universal – Teori kategori – Teori urutan
- Ruang
Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.
- Topologi – Geometri – Trigonometri – Geometri Aljabar – Geometri turunan – Topologi turunan – Topologi aljabar – Algebra linear – Geometri fraktal
- Matematika diskrit
Topik dalam matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.
- Kombinasi – Teori himpunan naif – Kemungkinan – Teori komputasi – Matematika terbatas – Kriptografi – Teori Gambar – Teori permainan
- Matematika terapan
Bidang-bidang dalam matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.
- Mekanika – Analisa Numerik – Optimisasi – Probabilitas – Statistik – Matematika Finansial (keuangan) – Metoda Numerik
- Konjektur dan teori-teori yang terkenal
Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.
- Teori terakhir Fermat – Konjektur Goldbach – Konjektur Utama Kembar – Teorema ketidaklengkapan Gödel – Konjektur Poincaré – Argumen diagonal Cantor – Teorema empat warna – Lema Zorn – Identitas Euler – Konjektur Scholz – Tesis Church-Turing
- Teori dan konjektur penting
Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.
- Hipotesis Riemann – Hipotesis Continuum – P=NP – Teori Pythagorean – Central limit theorem – Teordi dasar kalkulus – Teori dasar aljabar – Teori dasar aritmetik – Teori dasar geometri proyektif – klasifikasi teorema permukaan – Teori Gauss-Bonnet
- Dasar dan metode
Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.
- Filsafat matematika – Intuisionisme matematika – Konstruktivisme matematika – Dasar matematika – Teori pasti – Logika simbol – Teori model – Teori kategori – Logika – Matematika kebalikan– Daftar simbol matematika
- Sejarah dunia para matematikawan
- Sejarah matematika – Garis waktu matematika – Matematikawan – Medali bidang – Hadiah Abel – Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) – International Mathematical Union – Pertandingan matematika – Pemikiran lateral – Kemampuan matematika dan masalah gender
- Matematika dan bidang lainnya
- Matematika dan arsitektur – Matematika dan pendidikan – Matematika skala musik
- Kejadian Kebetulan Matematika
- Daftar Kejadian Kebetulan Matematika
- Peralatan Matematika
Dulu:
- Abacus
- Tulang Napier, Jangka sorong
- Penggaris dan Kompas
- Perhitungan biasa
Sekarang:
- Kalkulator dan komputer
- Bahasa pemrograman
- Sistem komputer aljabar (listing)
- Notasi sederhana Internet
- Analisis statistik software
- SPSS
- SAS
- R
Beberapa arti istilah dalam Matematika :
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, …) dan negatifnya (-1, -2, -3, …; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
|
|
Penambahan |
Perkalian |
|
closure: |
a + b adalah bilangan bulat |
a × b adalah bilangan bulat |
|
Asosiativitas: |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a × (b × c) = (a × b) × c |
|
Komutativitas: |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
|
Eksistensi unsur identitas: |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
|
Eksistensi unsur invers: |
a + (−a) = 0 |
|
|
Distribusivitas: |
a × (b + c) = (a × b) + (a × c) |
|
|
Tidak ada pembagi nol: |
|
jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya) |
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides. Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imaginer.
bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk.
dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika) (dari kata bahasa Yunani αριθμός – arithnos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.
Kalkulus (dari Bahasa Latin calculus yang artinya “batu kecil”) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus, yang mempunyai aplikasi luas dalam bidang sains dan teknik, digunakan untuk memecahkan masalah kompleks yang tidak cukup diselesaikan dengan menggunakan teknik aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.
Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi.
Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.
Topologi (berasal dari bahasa Yunani: topos yang berarti tempat dan logos yang berarti ilmu) adalah cabang dari matematika yang mempelajari komponen spasial suatu obyek yang tidak berubah dalam transormasi bikontinu. Sebagai gambaran, suatu obyek dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan.
Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.
Geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat “dibagi-bagi” dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.
Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Istilah fractal dibuat oleh Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang artinya “patah”, “rusak”, atau “tidak teratur”. Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju Koch) adalah kurva monster.
Matematika diskret atau diskrit adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskret. Diskret disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu). Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskret merupakan mata kuliah utama dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan. Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.
Probabilitas adalah nilai kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi, dan tentu tidak akan mengejutkan sama sekali. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.
Komputasi sebetulnya bisa diartikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan masalah dari data input dengan menggunakan suatu algoritma. Hal ini ialah apa yang disebut dengan teori komputasi, suatu sub-bidang dari ilmu komputer dan matematika. Selama ribuan tahun, perhitungan dan komputasi umumnya dilakukan dengan menggunakan pena dan kertas, atau kapur dan batu tulis, atau dikerjakan secara mental, kadang-kadang dengan bantuan suatu tabel. Namun sekarang, kebanyakan komputasi telah dilakukan dengan menggunakan komputer. Secara umum iIlmu komputasi adalah bidang ilmu yang mempunyai perhatian pada penyusunan model matematika dan teknik penyelesaian numerik serta penggunaan komputer untuk menganalisis dan memecahkan masalah-masalah ilmu (sains).
Kriptografi, secara umum adalah ilmu dan seni untuk menjaga kerahasiaan berita [bruce Schneier - Applied Cryptography]. Selain pengertian tersebut terdapat pula pengertian ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, serta autentikasi data [A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone - Handbook of Applied Cryptography]. Tidak semua aspek keamanan informasi ditangani oleh kriptografi.
Ada empat tujuan mendasar dari ilmu kriptografi ini yang juga merupakan aspek keamanan informasi yaitu :
- Kerahasiaan, adalah layanan yang digunakan untuk menjaga isi dari informasi dari siapapun kecuali yang memiliki otoritas atau kunci rahasia untuk membuka/mengupas informasi yang telah disandi.
- Integritas data, adalah berhubungan dengan penjagaan dari perubahan data secara tidak sah. Untuk menjaga integritas data, sistem harus memiliki kemampuan untuk mendeteksi manipulasi data oleh pihak-pihak yang tidak berhak, antara lain penyisipan, penghapusan, dan pensubsitusian data lain kedalam data yang sebenarnya.
- Autentikasi, adalah berhubungan dengan identifikasi/pengenalan, baik secara kesatuan sistem maupun informasi itu sendiri. Dua pihak yang saling berkomunikasi harus saling memperkenalkan diri. Informasi yang dikirimkan melalui kanal harus diautentikasi keaslian, isi datanya, waktu pengiriman, dan lain-lain.
- Non-repudiasi, atau nirpenyangkalan adalah usaha untuk mencegah terjadinya penyangkalan terhadap pengiriman/terciptanya suatu informasi oleh yang mengirimkan/membuat.
Teori permainan adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari interaksi antar agen, di mana tiap strategi yang dipilih akan memiliki payoff yang berbeda bagi tiap agen. Pertama kali dikembangkan sebagai cabang tersendiri dari ilmu matematika oleh Oskar Morgenstern dan John von Neumann, cabang ilmu ini telah berkembang sedemikian pesat hingga melahirkan banyak tokoh peraih nobel, seperti John Nash (AS), Reinhard Selten (Jerman), dan John Harsanyi (AS) pada tahun 1999 dan Thomas Schelling (AS, Robert Aumann (Israel) pada tahun 2005, dan Leonid Hurwicz (AS) pada tahun 2007.
Mekanika (Bahasa Latin mechanicus, dari Bahasa Yunani mechanikos, “seseorang yang ahli di bidang mesin”) adalah jenis ilmu khusus yang mempelajari fungsi dan pelaksanaan mesin, alat atau benda yang seperti mesin.mekanika merupakan bagian yang sangat penting dalam ilmu fisika terutama untuk ahli saints dan ahli teknik. Mekanika (Mechanics) juga berarti ilmu pengetahuan yang mempelajari gerakan suatu benda serta efek gaya dalam gerakan itu.
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah ’statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ’statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.
Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Ilmu disini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.
Matematikawan adalah seseorang yang bidang studi dan penelitiannya matematika.
Sempoa atau sipoa atau dekak-dekak adalah alat kuno untuk berhitung yang dibuat dari rangka kayu dengan sederetan poros berisi manik-manik yang bisa digeser-geserkan. Sempoa digunakan untuk melakukan operasi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan akar kuadrat.
Jangka sorong adalah alat ukur yang ketelitiannya dapat mencapai seperseratus milimeter. Terdiri dari dua bagian, bagian diam dan bagian bergerak. Pembacaan hasil pengukuran sangat bergantung pada keahlian dan ketelitian pengguna maupun alat. Sebagian keluaran terbaru sudah dilengkapi dengan bacaan digital. Pada versi analog, umumnya tingkat ketelitian adalah 0.05mm untuk jangka sorang dibawah 30cm dan 0.01 untuk yang diatas 30cm.
Kegunaan jangka sorong adalah:
- untuk mengukur suatu benda dari sisi luar dengan cara diapit;
- untuk mengukur sisi dalam suatu benda yang biasanya berupa lubang (pada pipa, maupun lainnya) dengan cara diulur;
- untuk mengukur kedalamanan celah/lubang pada suatu benda dengan cara “menancapkan/menusukkan” bagian pengukur. Bagian pengukur tidak terlihat pada gambar karena berada di sisi pemegang.
Penggaris adalah sebuah alat pengukur dan alat bantu gambar untuk menggambar garis lurus. Terdapat berbagai macam penggaris, dari mulai yang lurus sampai yang berbentuk segitiga (biasanya segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku 30°–60°). Penggaris dapat terbuat dari plastik, logam, berbentuk pita dan sebagainya. Juga terdapat penggaris yang dapat dilipat.
Kompas adalah alat navigasi untuk mencari arah berupa sebuah panah penunjuk magnetis yang bebas menyelaraskan dirinya dengan medan magnet bumi secara akurat. Kompas memberikan rujukan arah tertentu, sehingga sangat membantu dalam bidang navigasi. Arah mata angin yang ditunjuknya adalah utara, selatan, timur, dan barat. Kompas jam adalah kompas yang dilengkapi dengan jam matahari. Kompas variasi adalah alat khusus berstruktur rapuh yang digunakan dengan cara mengamati variasi pergerakan jarum. Girokompas digunakan untuk menentukan utara sejati.
Mesin hitung atau Kalkulator adalah alat untuk menghitung dari perhitungan sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian sampai kepada kalkulator sains yang dapat menghitung rumus matematika tertentu.
Komputer adalah alat yang dipakai untuk mengolah data menurut prosedur yang telah dirumuskan. Kata computer semula dipergunakan untuk menggambarkan orang yang perkerjaannya melakukan perhitungan aritmatika, dengan atau tanpa alat bantu, tetapi arti kata ini kemudian dipindahkan kepada mesin itu sendiri. Asal mulanya, pengolahan informasi hampir eksklusif berhubungan dengan masalah aritmatika, tetapi komputer modern dipakai untuk banyak tugas yang tidak berhubungan dengan matematika.
Bahasa pemrograman, atau sering diistilahkan juga dengan bahasa komputer, adalah teknik komando/instruksi standar untuk memerintah komputer. Bahasa pemrograman ini merupakan suatu set aturan sintaks dan semantik yang dipakai untuk mendefinisikan program komputer. Bahasa ini memungkinkan seorang programmer dapat menentukan secara persis data mana yang akan diolah oleh komputer, bagaimana data ini akan disimpan/diteruskan, dan jenis langkah apa secara persis yang akan diambil dalam berbagai situasi.
Simbol matematika dasar
|
Simbol |
Nama |
Penjelasan |
Contoh |
|
Dibaca sebagai |
|||
|
Kategori |
|||
|
= |
x = y berarti x and y mewakili hal atau nilai yang sama. |
1 + 1 = 2 |
|
|
sama dengan |
|||
|
umum |
|||
|
≠ |
x ≠ y berarti x dan y tidak mewakili hal atau nilai yang sama. |
1 ≠ 2 |
|
|
tidak sama dengan |
|||
|
umum |
|||
|
< > |
x < y berarti x lebih kecil dari y. x > y means x lebih besar dari y. |
3 < 4 |
|
|
lebih kecil dari; lebih besar dari |
|||
|
≤ ≥ |
x ≤ y berarti x lebih kecil dari atau sama dengan y. x ≥ y means x lebih besar dari atau sama dengan y. |
3 ≤ 4 and 5 ≤ 5 |
|
|
lebih kecil dari atau sama dengan, lebih besar dari atau sama dengan |
|||
|
+ |
4 + 6 berarti jumlah antara 4 dan 6. |
2 + 7 = 9 |
|
|
tambah |
|||
|
A1 + A2 means the disjoint union of sets A1 and A2. |
A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7} ⇒ |
||
|
the disjoint union of … and … |
|||
|
− |
9 − 4 berarti 9 dikurangi 4. |
8 − 3 = 5 |
|
|
kurang |
|||
|
−3 berarti negatif dari angka 3. |
−(−5) = 5 |
||
|
negatif |
|||
|
A − B means the set that contains all the elements of A that are not in B. |
{1,2,4} − {1,3,4} = {2} |
||
|
minus; without |
|||
|
× |
3 × 4 means the multiplication of 3 by 4. |
7 × 8 = 56 |
|
|
kali |
|||
|
X×Y means the set of all ordered pairs with the first element of each pair selected from X and the second element selected from Y. |
{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} |
||
|
the Cartesian product of … and …; the direct product of … and … |
|||
|
u × v means the cross product of vectors u and v |
(1,2,5) × (3,4,−1) = |
||
|
cross |
|||
|
÷ / |
6 ÷ 3 atau 6/3 berati 6 dibagi 3. |
2 ÷ 4 = .5 12/4 = 3 |
|
|
bagi |
|||
|
√ |
√x berarti bilangan positif yang kuadratnya x. |
√4 = 2 |
|
|
akar kuadrat |
|||
|
if z = r exp(iφ) is represented in polar coordinates with -π < φ ≤ π, then √z = √r exp(iφ/2). |
√(-1) = i |
||
|
the complex square root of; square root |
|||
|
| | |
|x| means the distance in the real line (or the complex plane) between x and zero. |
|3| = 3, |-5| = |5| |
|
|
absolute value of |
|||
|
! |
n! is the product 1×2×…×n. |
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 |
|
|
faktorial |
|||
|
~ |
X ~ D, means the random variable X has the probability distribution D. |
X ~ N(0,1), the standard normal distribution |
|
|
has distribution |
|||
|
ÞÉ →
|
A ⇒ B means if A is true then B is also true; if A is false then nothing is said about B.functions given below.superset given below. → may mean the same as ⇒, or it may have the meaning for ⊃ may mean the same as ⇒, or it may have the meaning for |
x = 2 ⇒ x2 = 4 is true, but x2 = 4 ⇒ x = 2 is in general false (since x could be −2). |
|
|
implies; if .. then |
|||
|
Û |
A ⇔ B means A is true if B is true and A is false if B is false. |
x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y |
|
|
if and only if; iff |
|||
|
¬ ˜ |
The statement ¬A is true if and only if A is false. A slash placed through another operator is the same as “¬” placed in front. |
¬(¬A) ⇔ A |
|
|
not |
|||
|
° |
logical conjunction or meet in a lattice |
The statement A ∧ B is true if A and B are both true; else it is false. |
n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 when n is a natural number. |
|
and |
|||
|
Ú |
logical disjunction or join in a lattice |
The statement A ∨ B is true if A or B (or both) are true; if both are false, the statement is false. |
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 when n is a natural number. |
|
or |
|||
|
Å ⊻ |
The statement A ⊕ B is true when either A or B, but not both, are true. A ⊻ B means the same. |
(¬A) ⊕ A is always true, A ⊕ A is always false. |
|
|
xor |
|||
|
“ |
“x: P(x) means P(x) is true for all x. |
∀ n ∈ N: n2 ≥ n. |
|
|
for all; for any; for each |
|||
|
Ǝ |
∃ x: P(x) means there is at least one x such that P(x) is true. |
∃ n ∈ N: n is even. |
|
|
there exists |
|||
|
Ǝ! |
∃! x: P(x) means there is exactly one x such that P(x) is true. |
∃! n ∈ N: n + 5 = 2n. |
|
|
there exists exactly one |
|||
|
:=Û ≡ : |
x := y or x ≡ y means x is defined to be another name for y (but note that ≡ can also mean other things, such as congruence). P :⇔ Q means P is defined to be logically equivalent to Q. |
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) |
|
|
is defined as |
|||
|
everywhere |
|||
|
{ , } |
set brackets |
{a,b,c} means the set consisting of a, b, and c. |
N = {0,1,2,…} |
|
the set of … |
|||
|
{ : } { | } |
{x : P(x)} means the set of all x for which P(x) is true. {x | P(x)} is the same as {x : P(x)}. |
{n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4} |
|
|
the set of … such that … |
|||
|
∅ {} |
∅ berarti himpunan yang tidak memiliki elemen. {} juga berarti hal yang sama. |
{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ∅ |
|
|
himpunan kosong |
|||
|
Î∉
|
set membership |
a ∈ S means a is an element of the set S; a ∉ S means a is not an element of S. |
(1/2)−1 ∈ N∉ N 2−1 |
|
is an element of; is not an element of |
|||
|
everywhere, teori himpunan |
|||
|
ÍÌ
|
A ⊆ B means every element of A is also element of B. A ⊂ B means A ⊆ B but A ≠ B. |
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R |
|
|
is a subset of |
|||
|
ÊÉ
|
A ⊇ B means every element of B is also element of A. A ⊃ B means A ⊇ B but A ≠ B. |
A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q |
|
|
is a superset of |
|||
|
Ì |
A ∪ B means the set that contains all the elements from A and also all those from B, but no others. |
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B |
|
|
the union of … and …; union |
|||
|
∩ |
A ∩ B means the set that contains all those elements that A and B have in common. |
{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1} |
|
|
intersected with; intersect |
|||
|
\ |
A \ B means the set that contains all those elements of A that are not in B. |
{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2} |
|
|
minus; without |
|||
|
( ) |
function application |
f(x) berarti nilai fungsi f pada elemen x. |
Jika f(x) := x2, maka f(3) = 32 = 9. |
|
of |
|||
|
precedence grouping |
Perform the operations inside the parentheses first. |
(8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4. |
|
|
|
|||
|
umum |
|||
|
f:X→Y |
function arrow |
f: X → Y means the function f maps the set X into the set Y. |
Let f: Z → N be defined by f(x) = x2. |
|
from … to |
|||
|
o |
fog is the function, such that (fog)(x) = f(g(x)). |
if f(x) = 2x, and g(x) = x + 3, then (fog)(x) = 2(x + 3). |
|
|
composed with |
|||
|
N
ℕ |
N means {0,1,2,3,…}, but see the article on natural numbers for a different convention. |
{|a| : a ∈ Z} = N |
|
|
N |
|||
|
Z
ℤ |
Z means {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. |
{a : |a| ∈ N} = Z |
|
|
Z |
|||
|
Q
ℚ |
Q means {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}. |
3.14 ∈ Q∉ Q π |
|
|
Q |
|||
|
R
ℝ |
R means {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, the limit exists}. |
π ∈ R∉ R √(−1) |
|
|
R |
|||
|
C
ℂ |
C means {a + bi : a,b ∈ R}. |
i = √(−1) ∈ C |
|
|
C |
|||
|
∞ |
∞ is an element of the extended number line that is greater than all real numbers; it often occurs in limits. |
limx→0 1/|x| = ∞ |
|
|
infinity |
|||
|
π |
π berarti perbandingan (rasio) antara keliling lingkaran dengan diameternya. |
A = πr² adalah luas lingkaran dengan jari-jari (radius) r |
|
|
pi |
|||
|
|| || |
||x|| is the norm of the element x of a normed vector space. |
||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| |
|
|
norm of; length of |
|||
|
∑ |
∑k=1n ak means a1 + a2 + … + an. |
∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 |
|
|
sum over … from … to … of |
|||
|
∏ |
∏k=1n ak means a1a2···an. |
∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360 |
|
|
product over … from … to … of |
|||
|
∏i=0nYi means the set of all (n+1)-tuples (y0,…,yn). |
∏n=13R = Rn |
||
|
the Cartesian product of; the direct product of |
|||
|
‘ |
f ’(x) is the derivative of the function f at the point x, i.e., the slope of the tangent there. |
If f(x) = x2, then f ’(x) = 2x |
|
|
… prime; derivative of … |
|||
|
∫ |
∫ f(x) dx means a function whose derivative is f. |
∫x2 dx = x3/3 + C |
|
|
indefinite integral of …; the antiderivative of … |
|||
|
∫ab f(x) dx means the signed area between the x-axis and the graph of the function f between x = a and x = b. |
∫0b x2 dx = b3/3; |
||
|
integral from … to … of … with respect to |
|||
|
Ñ |
∇f (x1, …, xn) is the vector of partial derivatives (df / dx1, …, df / dxn). |
If f (x,y,z) = 3xy + z² then ∇f = (3y, 3x, 2z) |
|
|
∂ |
With f (x1, …, xn), ∂f/∂xi is the derivative of f with respect to xi, with all other variables kept constant. |
If f(x,y) = x2y, then ∂f/∂x = 2xy |
|
|
partial derivative of |
|||
|
∂M means the boundary of M |
∂{x : ||x|| ≤ 2} = |
||
|
boundary of |
|||
|
^ |
x ⊥ y means x is perpendicular to y; or more generally x is orthogonal to y. |
If l⊥m and m⊥n then l || n. |
|
|
is perpendicular to |
|||
|
geometri |
|||
|
bottom element |
x = ⊥ means x is the smallest element. |
∀x : x ∧ ⊥ = ⊥ |
|
|
the bottom element |
|||
|
lattice theory |
|||
|
|= |
entailment |
A ⊧ B means the sentence A entails the sentence B, that is every model in which A is true, B is also true. |
A ⊧ A ∨ ¬A |
|
entails |
|||
|
model theory |
|||
|
|- |
inference |
x ⊢ y means y is derived from x. |
A → B ⊢ ¬B → ¬A |
|
infers or is derived from |
|||
|
propositional logic, predicate logic |
|||
|
◅ |
normal subgroup |
N ◅ G means that N is a normal subgroup of group G. |
Z(G) ◅ G |
|
is a normal subgroup of |
|||
|
group theory |
|||
|
/ |
quotient group |
G/H means the quotient of group G modulo its subgroup H. |
{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}} |
|
mod |
|||
|
group theory |
|||
|
≈ |
isomorphism |
G ≈ H means that group G is isomorphic to group H |
Q / {1, −1} ≈ V, |
|
is isomorphic to |
|||
|
group theory |
Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan, suatu entitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama. Mereka pun umumnya menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika.
π adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang dibaca pi dan pi juga bisa dipakai dalam penulisan. Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.
Rumus dengan π
| Bentuk | Rumus |
|---|---|
| Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d |  |
| Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d |  |
| Volume bola dengan jari-jari r |  |
| Luas permukaan bola dengan jari-jari r |  |
| Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r |  |
| Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r |  |
| Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r |  |
| Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r |  |
Komentar